2次形式の符号について ~固有値、主座小行列式

2016年12月14日(木)

  問題を解くことで、ひとつの線型代数学の話題を述べよう。以前、2次形式を標準形に直すことをこのブログで取り上げたことが
あった。

  2次形式の標準形と符号について (2017年9月8日)

今回は、このつづきである。

  問題1で取り上げたのは

  問題1・・・2次形式 yz+zx+xy の符号を調べよ

という中学校数学でも出てきそうな問題である。解法だけならば適当な数値をx,y,zに代入して、正の値になったり、0になったり、負
になったりすることを示せばいい。これを、2次形式を表す行列の固有値を用いて示した。そのときに用いたのが、本文にある定理1であ
る。
  定理1は便利なものであるが、問題2のように固有値を求めることが困難な場合は適応しにくい。そこで、Aの主座小行列式を求めて
符号を定めることができる。本文の定理2を適応する方法である。

  2次形式の符号について、定理1・定理2を用いて具体的な問題を解いてみた。なお、これら2つの定理の証明について省略させてい
ただいた。線型代数の適当な教科書を参考にされるといい。



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